邹生书——武汉三月调考数学第7题的五种解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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武汉三月调考数学第7题的五种解法

湖北省阳新县高级中学     邹生书

7.过抛物线E:y²=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点，过两点分别向的准线作垂线，垂足分别为C,D，若△ACF与△BDF的面积之比为4,则直线AB的斜率为（    ）

思路一、解析几何方向

解法1：设点法求解（点差法求直线斜率，用点的坐标表示直线方程）

  由对称性知,正确的选项是D.

  解法2：用设线法求解

思路二、三角几何方向 

解法3：用几何与三角联手求解

如图2，过点F作x轴的垂线分别交AC,BD于点M,N，

由AF=AC,BF=BD知

∠AFC=∠ACF=(π-∠FAC)/2,

∠BFD=∠BDF=(π-∠FBD)/2,

所以∠AFC+∠BFD =π-(∠FAC+∠FBD)/2

=π-π/2=π/2，

所以∠CFD=π/2，

又FH⊥CD,由射影定理得FD²=DH•DC,

设FB=r,则FA=2r,在△BFD中由余弦定理得

FD²=r²+r²-2r²cos(π-θ)=2r²+2r²cosθ,

又DH=NF=rsinθ, DC=NM=3rsinθ,

代入FD²=DH•DC得

2r²+2r²cosθ=3r²sin²θ,

整理得3cos²θ+2cosθ-1=0,解得cosθ=1/3,

所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,

由对称性知，正确的选项是D.

解法4：用三角法+抛物线定义求解

如图2，过点F作x轴的垂线分别交AC,BD于点M,N，

设FB=r,则FA=2r,设直线AB的倾斜角为θ，

则AC=CM+MA=p+2rcosθ，

BD=DN-BN= p-rcosθ,

由抛物线定义得AF=AC,BF=BD,于是有

p+2rcosθ=2r, p-rcosθ=r,

两式相减可得cosθ=1/3,

所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,

由对称性知，正确的选项是D.

解法5：用三角法+抛物线定义求解

如图3，过点A作DB的垂线交DB的延长线于点G，

由抛物线定义得AF=AC,BF=BD,

设FB=r,则FA=2r,设直线AB的倾斜角为θ，

则AB=AF+FB=3r,BG=DG-BD=AC-BD=2r-r=r,

于是有cosθ=cos∠ABG=BG/AB=r/3r=1/3,

所以直线AB的斜率k=tanθ=2√2,

由对称性知，正确的选项是D. 

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